再复杂的题经过反复的推敲加工提炼都能找到自然的思路，再容易的题也会因方法不当叫人觉的思路不畅，所以解题的自然思路要靠教师的认真探索，长期实践，不断积累，力争每一题都能找到自然的思路，力求每一位学生都觉得教师讲授的思路流畅自然。

　　《高中生之友》杂志自2003年创刊以来，一直坚持为丰富高中生的精神生活服务，为高中生的课程学习和高考服务，真正成为了高中生冲顶高考的帮手和生活上的知心朋友;她以其指导性、权威性、可读性、实用性，赢得了广大高中学生和高中学校的好评。

　　著名数学家拉格朗日指出：“一种数学理论应当向在大街上遇到的第一个人解释清楚”。杰出数学家怀尼特号召：“让研究工作来的自然”。数学解题教学何尝不是如此?解题思路要清晰，来的自然，清楚得使每一位每一位学生都能看到出，自然的使每一个学生都能想得到。这才是教师在解题教学中所追求的，也正是学生所期望的。

　　怎样才能使“使解题思路来的自然”?自然途径又是什么?这都是需要教师认真的总结,探索和研究。

　　一、重视基础 回归自然

　　定义、性质、公式是数学的基础，解题大多是从它们开始的。用定义、性质、公式解题，思路自然，方法直接。其实对复杂的问题，不妨退回定义，也许会找到一条自然的捷径。

　　如：(2015福建高考总复习一轮用书学海舵手)在复习椭圆时有这样一题例题;已知p是椭圆 上的点， 是椭圆的两个焦点，且 ，求 的面积。在分析这一题，就是要考虑椭圆的定义与三角形的有关性质相结合，这是解本题的关键。利用椭圆的定义知 ，现在要求 的面积只需求 ，然后利用三角函数中的余弦定理解题，达到了设而不求的解题效果。而如果分别求出 计算量就太大了。由此，在教学中应淡化特技特法，提倡通法通用。

　　二、抓实实质 分析自然

　　解题思路的明朗是分析的结果，分析的关键是寻求题目中实质性差异和转化步骤，以便向目标逼近，只要把实质性差异看准了，理通了，其他问题也就迎刃而解，思路也就自然而然产生了。

　　例：(2013年高考江西卷)在 中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA- sinA)cosB=0

　　(1)求角B的大小;

　　(2)若a+c=1,求b的取值范围

　　分析:从结论出发，求角B的大小，而已知中有角A，B利用三角函数的公式和定义进行转化，体现了函数的思想，注意角的统一，同时注意角的取值范围。

　　由已知cosC+(cosA- sinA)cosB=0，即有sinAsinB- sinAcosB=0,因为sinA 0，所以sinB- cosB=0，又cosB 0，所以tanB=

　　又因为 。再利用余弦定理求b的取值范围。由此，自然思路来自透彻的分析，所以教学中教师要善于分析，善于讲透分析过程，才能给学生一个清晰自然的思路。

　　三、借助图形 直观自然

　　解题中借助图形的直观特征，既能发现解题途径，理顺解题思路，所以，它是给学生提供自然思路的有效途径。在数学解题中，我们经常用数形结合的解题思想，数 和形是数学研究的基本对象,数量关系如果借助图形性质,可以使许多抽象的概念直观而形象化,有利于探求解题途径,通常称为以形助数,而有些涉及图形的问题 如能转化为数量关系问题,又可以获得简单而快捷的解法,即所谓以数辅形,这是相辅相成的两个方面,往往可以使解法别开生面.所以数形结合思想，其实质是将抽象的语言与直观的图形结合起来，通过对图形处理，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，从而达到化难为易，化抽象为直观的目的。如幂函数、指数函数、对数函数的学习中，特别是圆锥曲线的学习过程，常常启发学生利用图像和图形来不失时机的把数与形结合起来，即把数的精确性与形的直观性结合起来，可以得到意想不到的效果。

　　例：(2015福建高考总复习一轮用书学海舵手)第167页第五题，已知直线L:y=x+b和曲线C: 有两个公共点，则b的取值范围是--------。

　　分析：此题如果把两个方程联立，再利用代数的方法解题，计算量大，且要通过大量的讨论才能得到结果，用数形结合的思想就简单多了，做法如下：如图，先作 的图像，再作y=x+b的图像，则有两个公共点的问题，就转化为直线束与圆(一部分)的交点个数问题，其解题思路就直观清楚的展现在图形中。

　　由此，通过直观形象的思维培养学生逻辑思维能力是中学数学教学的重要内容,教师应通过直观形象的图形变化指导、帮助学生探索解题途径。

　　四、变更角度 转换思想

　　为了使解题思路让学生觉得自然，往往需要不同角度的转换，这一种解释学生听不懂，可以换为另一种解释，方法一学生不理解，方法二也许学生会感觉自然，正向学生觉得思维抽象，逆向学生也许会觉得清晰流畅。变更角度 ， 转换思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 转换思想，在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转换思想，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中

　　例：7个人排列，甲、乙、丙三人必须相邻，共有多少种排法?

　　分析：此题答案如果解释为把甲、乙、丙三人看作一个整体，参加排列有 种，整体中3人又可全排列，有 所以公有 种，部分学生或许觉得疑惑不解。如果换一种说法：将甲、乙、丙三人捆在一起(突出相邻)与其他四人进行排列有 种，而甲、乙、丙三人在一起可互换位置，所以有 种，共有 种，学生会觉得通俗自然。

　　这一题还可以有很多的变式;如：3个女生4个男生排成一排

　　如果女生全排在一起，有多少种不同的排法?

　　如果女生互部相邻，有多少种不同的排法?

　　如果两端都不能拍女生，有多少种不同的排法?

　　如果两端不能排女生，有多少种不同的排法?

　　这些问题都可以用转换思想来解题。

　　又如：某次乒乓球赛，采用单淘汰制，从n个(n大于等于2)运动员决出冠军，共进行了多少种比赛?

　　分析：若从胜利者角度出发，考虑出场轮空情况，思路头绪颇多，学生觉得抽象繁乱。转换一个角度，从失败角度考虑，则思路自然，解法简洁，因为每场比赛淘汰一个失败者，全部比赛要淘汰(n-1)个失败者，所以总共要进行(n-1)场比赛。